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Lösungsstrategie:

Schritt 1:

Hauptnenner bzw. gemeinsamen Nenner bestimmen

Schritt 2:

Definitionsmenge bestimmen

Schritt 3:

Mit dem Hauptnenner bzw. dem gemeinsamen Nenner durchmultiplizieren und anschließend so kürzen, dass die Gleichung keine Nenner mehr besitzt. Dabei wird sich in der Regel eine quadratische Gleichung ergeben, selten eine lineare Gleichung.

Schritt 4:

Lösung mit der passenden unten aufgeführten Lösungsstrategie berechnen

Lineare Gleichung

Lösungsstrategie:

Schritt 1:

Auflösen der Gleichung nach der gesuchten Variablen (mittels Termumformungen)

Schritt 2:

Angeben der Lösung, dabei Definitionsmenge beachten

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Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung kann eine, zwei oder keine Lösung haben. Dies hängt vom Wert der Diskriminante D ab:

• D = 0: eine Lösung
• D > 0: zwei Lösungen
• D < 0: keine Lösung

Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

Reinquadratische Gleichung

Gemischtquadratische Gleichung

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Eine Gleichung der Form $ax^2 + b = 0$ mit $a \neq 0$ heißt reinquadratische Gleichung.

Lösungsstrategie:

Schritt 1:

Auflösen der Gleichung nach $x^2$ (mittels Termumformungen):

$x^2 = \cfrac{-b}{a} \quad\quad \left \vert \cfrac{-b}{a}=D \right.$

Schritt 2:

Ziehen der Wurzel:

$x_{1/2} = \pm \sqrt{D}$

Schritt 3:

Angeben der Lösung, dabei Definitionsmenge beachten:

z. B.: $L=\{- \sqrt{D}; \sqrt{D}\}$

Eine Gleichung der Form $ax^2 + bx +c = 0$ mit $a, b \neq 0$ heißt gemischtquadratische Gleichung.

Lösungsstrategie:

Schritt 1:

Umformen der Gleichung in die Normalform:

$\begin{align} ax^2 + bx + c &= 0 &&| :a\\ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} &= 0 \\ x^2 + px + q &= 0 \end{align}$

alternativ:

Umformen der Gleichung in die allgemeine Form:

$ax^2 + bx + c = 0$

Schritt 2:

Lösungsformel für die Normalform (p-q-Formel):

$x_{1/2} = -\frac{p}{2} \pm\, \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right) ^2-q}$

hier gilt: $D = \left( \frac{p}{2} \right) ^2-q$

alternativ:

Lösungsformel für die allgemeine Form (a-b-c-Formel):

$x_{1/2} = \cfrac{-\,b\, \pm\, \sqrt{b^2 \,-\, 4ac}}{2a}$

hier gilt: $D = b^2 \,-\, 4ac$

Schritt 3:

Angeben der Lösung, dabei Definitionsmenge beachten:

z. B.: $L=\{x_{1}; x_{2}\}$

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Ermittlung des Mittelpunktswinkels $\alpha$ eines Kreissektors:

• Grundformel:

$\alpha = \cfrac{\text{Teilwert}}{\text{Wert des Ganzen}} \cdot 360^\circ$

• Prozentkreis:

$\alpha = \cfrac{p}{100} \cdot 360^\circ$

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Ermittlung der Länge der Streifenabschnitte:

Schritt 1:

Länge des Gesamtstreifens festlegen

Schritt 2:

Ermittlung der Länge der Streifenabschnitte mittels

• Dreisatz (➞ siehe Dreisatz)
• Dreisatz oder Prozentformel bei Prozentstreifen
  (➞ siehe Prozentrechnung)

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1.3.3.1 Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

1.3.3.2 Dreisatz bei antiproportionalen (umgekehrt proportionalen) Zuordnungen

• Grundwert: G
• Prozentwert: W    (alternativ: P)
• Prozentsatz: p %
• $1\; \% = \cfrac{1}{100} = 0,01$
• $100\; \% = \cfrac{100}{100} = 1$
• $p\; \% = \cfrac{p}{100}$

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• Kapital: K
• Zinsen: Z
• Zinsfuß: p
• Zinssatz: p %
• $p\; \% = \cfrac{p}{100}$
• Im deutschen Bankwesen gilt in der Regel:
  • Ein Jahr hat 360 Tage (Bankjahr).
  • Ein Monat hat 30 Tage (Bankmonat).

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• Der Anlagebetrag wird über mehrere Jahre fest angelegt.
• Der Zinssatz bleibt über den gesamten Anlagezeitraum gleich.
• Zinserträge während der Laufzeit werden nicht ausgeschüttet, sondern dem Anlagebetrag gutgeschrieben.

• Anfangskapital: K
• Kapital nach n Jahren: K_n
• Anzahl der Jahre: n
• Zinssatz: p %
• Zinsfaktor: q

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• Der Anlagebetrag wird über mehrere Jahre fest angelegt.
• Die Zinssätze für die einzelnen Anlagejahre sind unterschiedlich (p₁, p₂, ... ,p_n).
• Zinserträge während der Laufzeit werden nicht ausgeschüttet, sondern dem Anlagebetrag gutgeschrieben.

• Anfangskapital: K
• Kapital nach n Jahren: K_n
• Anzahl der Jahre: n
• Zinssatz im i-ten Jahr: p_i %
• Zinsfaktor im i-ten Jahr: q_i

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• Grundwert: G
• Vermehrter Grundwert: G⁺
• Verminderter Grundwert: G^–
• Veränderung des Grundwerts in Prozent: p

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• Anfangswert: G
• Wert nach n Schritten: G_n
• Anzahl der Schritte: n
• Änderung pro Schritt in Prozent: p
• Wachstums-/Zunahmefaktor bzw. Abnahme-/Zerfallsfaktor: q

• Zunahme:
  $G_{n} = G_{0} \cdot q^n$
  Formel für Wachstums-/Zunahmefaktor q:
  $q = 1 + \cfrac{p}{100}$
• Abnahme:
  $G_{n} = G_{0} \cdot q^n$
  Formel für Abnahme-/Zerfallsfaktor q:
  $q = 1 - \cfrac{p}{100}$

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Flächeninhalt:

• Allgemein:
  $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_g$
  ($g$: Grundseite, $h_g$: Höhe auf der Grundseite $g$)
• $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$
• $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$
• $A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Umfang:

$u = a + b + c$
($a$, $b$, $c$: Seitenlängen des Dreiecks)

Winkelsumme:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
($\alpha$, $\beta$, $\gamma$: Winkel des Dreiecks)

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• $a = b$
• $\alpha = \beta$

Flächeninhalt:

➞ siehe Allgemeines Dreieck

Umfang:

$u = 2a + c$

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• Alle drei Winkel sind gleich groß: $60^\circ$
• Alle drei Höhen sind gleich lang: $h = \frac{a}{2} \sqrt{3}$

Flächeninhalt:

• $A = \frac{1}{2}a h \quad$ (➞ vgl. Allgemeines Dreieck)
• $A = \frac{a^2}{4} \sqrt{3}$

Umfang:

$u = 3a$

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Flächeninhalt:

• $A = \frac{1}{2}c \cdot h_c \quad$
• $A = \frac{1}{2}a \cdot b$

(➞ vgl. Allgemeines Dreieck)

Umfang:

➞ siehe Allgemeines Dreieck

Satz des Pythagoras:

$a^2 + b^2 = c^2$

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Sinus:

$\sin \alpha = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{a}{c}$

Kosinus:

$\cos \alpha = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{b}{c}$

Tangens:

$\tan \alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{a}{b}$

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• $A= \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$
• $A= \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin \beta$
• $A= \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha$

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Flächeninhalt:

$A = a^2$

Umfang:

$u = 4a$

Diagonale e:

$e = a \sqrt{2}$

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Flächeninhalt:

$A = a \cdot b$

Umfang:

$u = 2(a+b) = 2a+2b$

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Flächeninhalt:

$A = \frac{1}{2} e \cdot f$

Umfang:

$u = 4a$

Mehr in der Vollversion

Flächeninhalt:

• $A = a \cdot h_a$
• $A = b \cdot h_b$

Umfang:

$u = 2(a+b) = 2a+2b$

Mehr in der Vollversion

Flächeninhalt:

$A = \frac{1}{2} e \cdot f$

Umfang:

$u = 2(a+b) = 2a+2b$

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Flächeninhalt:

• $A = \frac{1}{2} (a+c) \cdot h$

  bzw.

  $A = \frac{a\,+\,c}{2} \cdot h$
• $A = m \cdot h$

Umfang:

$u = a + b + c + d$

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2.4.2.1 Zerlegung in berechenbare Teilfiguren

Das unregelmäßige n-Eck wird in berechenbare Teilfiguren zerlegt.
Die Zerlegung hängt ab von den bekannten und den berechenbaren Größen.

Flächeninhalt:

$A_{n\text{-}Eck} = A_1 + A_2 + \ldots + A_m$

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2.4.2.2 Umschreibung mit einer berechenbaren Figur

Das unregelmäßige n-Eck wird mit einer berechenbaren Figur umschrieben.
Die Umschreibung hängt ab von den bekannten und den berechenbaren Größen.

Flächeninhalt:

$A_{n\text{-}Eck} = A_{Umschreibung} - ( A_1 + A_2 + \ldots + A_m)$

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Flächeninhalt:

• $A = \pi \cdot r^2$
• $A = \cfrac{\pi}{4} \cdot d^2$

Umfang:

• $u =2 \cdot \pi \cdot r$
• $u = \pi \cdot d$

Durchmesser:

$d =2 \cdot r$

M: 
d: 
r: 
u:

Mittelpunkt
Durchmesser
Radius
Umfang

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Flächeninhalt:

$A = \pi \cdot ({r_1}^2 - {r_2}^2)$

r₁: 
r₂: 

Radius des äußeren Kreises
Radius des inneren Kreises

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Flächeninhalt:

• $A = \pi \cdot r^2 \cdot \cfrac{\alpha}{360^\circ}$
• $A = \cfrac{b \cdot r}{2}$

Kreisbogen:

• $b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \cfrac{\alpha}{360^\circ}$
• $b = \pi \cdot r \cdot \cfrac{\alpha}{180^\circ}$

$\alpha$: 
b: 

Mittelpunktswinkel
Kreisbogen

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• zwei kongruenten, sich parallel gegenüberliegenden n-Eckflächen (Vieleckflächen) und
• n Rechtecken.

Volumen:

$V = A_G \cdot h$

bzw.

$V = G \cdot h$

Mantelflächeninhalt:

$M = u_G \cdot h$

Oberflächeninhalt:

$O = 2 A_G + M$

bzw.

$O = 2 G + M$

Hinweis: Anstelle der Grundfläche kann in obigen Formeln auch die Deckfläche genutzt werden.

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Volumen:

$V = a^3$

Oberflächeninhalt:

$O = 6 a^2$

Länge der Raumdiagonale:

$d = a \sqrt{3}$

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Volumen:

$V = a \cdot b \cdot c$

Oberflächeninhalt:

$O = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc)$

Länge der Raumdiagonale:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

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Volumen:

$V = \cfrac {3a^2}{2} \sqrt{3} \cdot h$

Mantelflächeninhalt:

$M = 6ah$

Oberflächeninhalt:

$O = 3a^2 \sqrt{3} + 6ah$

Grund-/Deckfläche:

➞ siehe Regelmäßiges Sechseck

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• zwei kongruenten, sich parallel gegenüberliegenden Kreisflächen (Grund- und Deckfläche) und
• einer gekrümmten Fläche, die die Kreislinien der Grund- und der Deckfläche miteinander verbindet (Mantelfläche).

Volumen:

• $V = A_G \cdot h$

  bzw.

  $V = G \cdot h$
• $V = \pi r^2 h$

Mantelflächeninhalt:

• $M = u \cdot h$
• $M = 2\pi r h$

Oberflächeninhalt:

• $O = 2 \cdot A_G + M$

  bzw.

  $O = 2 \cdot G + M$
• $O = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Grundfläche:

➞ siehe Kreis

Hinweis: Anstelle der Grundfläche kann in obigen Formeln auch die Deckfläche genutzt werden.

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• einer Kreisfläche (Grundfläche),
• einer außerhalb der Kreisfläche liegenden Spitze und
• einer gekrümmten Fläche, die die Kreislinie der Kreisfläche mit der Spitze verbindet (Mantelfläche).

Volumen:

• $V = \frac{1}{3} A_G \cdot h$

  bzw.

  $V = \frac{1}{3} G \cdot h$
• $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Mantelflächeninhalt:

$M = \pi r s$

Oberflächeninhalt:

• $O = A_G + M$

  bzw.

  $O = G + M$
• $O = \pi r^2 + \pi r s$

Grundfläche:

➞ siehe Kreis

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Volumen:

• $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
• $V = \frac{1}{6}\pi d^3$

Oberflächeninhalt:

• $O = 4\pi r^2$
• $O = \pi d^2$

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1. In einer Liste mit n Werten gibt es folgende Kennwerte:

   Minimum

   $x_{min}$

   Kleinster Wert einer Liste

   Maximum

   $x_{max}$

   Größter Wert einer Liste

   Spannweite

   $d$

   Differenz zwischen Maximum und Minimum

   $d=x_{max}-x_{min}$

   Arithmetisches Mittel

   $\overline{x}$

   Umgangssprachlich: „Durchschnitt“

   $\overline{x}=\cfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$

   Modalwert

   $m$

   Am häufigsten vorkommender Wert einer Liste. (Eine Liste kann mehrere Modalwerte beinhalten.)
2. In einer Rangliste gibt es darüber hinaus:

   Zentralwert (Median):

   $z$

   Der an der mittleren (zentralen) Stelle einer Rangliste stehende Wert. Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

   • Die Anzahl n der Werte ist gerade:
     z wird bestimmt über das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte der Rangliste stehenden Werte. In diesem Fall ist z kein Wert der Rangliste.
   • Die Anzahl n der Werte ist ungerade:
     z ist der mittlere Wert der Rangliste. In diesem Fall ist z ein Wert der Rangliste.

   Zur Berechnung von z ➞ siehe Berechnung der Quartile.

   Quartile

   $q_u$
   $z$
   $q_o$

   Unteres Quartil
   Zentralwert (Mittleres Quartil)
   Oberes Quartil
   

   Quartile sind Kennwerte, die eine Rangliste in vier Abschnitte gliedern. In jedem der vier Abschnitte befindet sich mindestens ein Viertel bzw. mindestens 25 % aller Werte.

   Berechnung der Quartile

   Schritt 1:

   Berechnung des Rangplatzes:

   • Rangplatz $q_u$:

     $n \cdot \frac{1}{4} \;\;$ bzw. $\;\; n \cdot 0,25$
   • Rangplatz $z$:

     $n \cdot \frac{1}{2} \;\;$ bzw. $\;\; n \cdot 0,5$
   • Rangplatz $q_o$:

     $n \cdot \frac{3}{4} \;\;$ bzw. $\;\; n \cdot 0,75$

   Schritt 2:

   Bestimmung des Werts:
   Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

   • Das Ergebnis aus Schritt 1 ist ganzzahlig:
     Der Wert des gesuchten Quartils bzw. des gesuchten Zentralwerts wird über das arithmetische Mittel aus dem Wert des in Schritt 1 berechneten Rangplatzes und dem Wert des nächsthöheren Rangplatzes berechnet.
     Der Kennwert ist in diesem Fall kein Wert der Rangliste.
   • Das Ergebnis aus Schritt 1 ist nicht ganzzahlig:
     Der Wert des nächsthöheren Rangplatzes ist der Wert des gesuchten Quartils bzw. des gesuchten Zentralwerts.
     Der Kennwert ist in diesem Fall ein Wert der Rangliste.

   Quartilabstand

   $q$

   Differenz aus oberem Quartil und unterem Quartil. Der Quartilabstand umfasst mindestens die Hälfte bzw. mindestens 50 % aller Werte.

   $q = q_o - q_u$

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Ein Boxplot ist ein Diagramm, das die Verteilung (Streuung) der Werte (Daten) einer Liste grafisch darstellt.

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Stufigkeit von Zufallsexperimenten:

Einstufiges Zufallsexperiment:
Das Experiment bzw. der Versuch wird einmal durchgeführt.

Beispiele:

• Einmaliges Ziehen einer Karte aus einem Stapel
• Einmaliges Werfen einer Münze

Mehrstufiges Zufallsexperiment:

Im Unterricht der Realschule kommen in der Regel höchstens zweistufige Zufallsexperimente vor. Zwei Formen sind zu unterscheiden:

• Ein Experiment wird zweimal hintereinander durchgeführt.
  Beispiele:
  • Zweimaliges Ziehen einer Karte aus einem Stapel
  • Zweimaliges Werfen einer Münze
• Zwei verschiedene Experimente werden miteinander verknüpft.
  Beispiele:
  • Ziehen einer Karte aus einem Stapel mit Zahlenkarten und Ziehen einer Karte aus einem Stapel mit Farbkarten
  • Werfen einer Münze und Werfen eines Würfels

Ergebnisse zweistufiger Zufallsexperimente:

Die Ergebnisse zweistufiger Zufallsversuche sind Ergebnispaare.

Beispiel:

Zweimaliges Werfen einer Münze: $\{ (W; W); (W; Z); (Z; W); (Z; Z) \}$
($W$: Wappen; $Z$: Zahl)

Baumdiagramm:

Ein Baumdiagramm ist im Mathematikunterricht der Realschule die grafische Darstellung eines Zufallsversuchs. Ein Baumdiagramm beinhaltet in der Regel:

• die Ergebnisse des Zufallsversuchs
• die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 9 farbige Kugeln:

• 3 rote Kugeln
• 4 blaue Kugeln
• 2 grüne Kugeln

Baumdiagramm zum zweimaligen Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen:

Produktregel (Pfadregel):

Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gleich dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten entlang des zu dem Ergebnis gehörenden Pfades im Baumdiagramm.

Beispiel:

Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „grün – blau“ in obigem Zufallsversuch (siehe Baumdiagramm):

$P(g; b)=P_1(g) \cdot P_2(b) = \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{1}{9}$

$(P$: Wahrscheinlichkeit; $g$: grün; $b$: blau$)$

Summenregel:

Bei einem Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller zu dem Ereignis gehörenden Ergebnisse.

Beispiel:

Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gleichfarbig“ in obigem Zufallsversuch (siehe Baumdiagramm):

$P(gleich \kern-.1em farbig)$

$= P(r; r) + P(b; b) + P(g; g)$

$= P_1(r) \cdot P_2(r) + P_1(b) \cdot P_2(b) + P_1(g) \cdot P_2(g)$

$= \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} + \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8}$

$= \frac{5}{18}$

$(P$: Wahrscheinlichkeit; $r$: rot; $b$: blau; $g$: grün$)$

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